Mathematik von Pandemien und Exponentialrechnung

  • Ich mache dafür aus gegebenen Anlass man einen neuen Faden auf.

    Mann hat ja Zeit dieser Tage und lohnt schon dass nochmal ordentlich aufzubohren.

    Und ist ja auch spannend.


    Weil wie gesagt, im Gegenteil zu anderen Krisen, ist diese hier großartig mit Daten hinterlegt, folgt klaren Gesetzen und kann super berechnet werden.

    Gleichzeitig sind nicht-linear Zusammenhänge, exponetielle Entwicklung etc. halt biestig, weil sie nicht dem üblichen menschlichen Denken entsprechen (das denkt in linearen Zusammenhängen).


    Geht in diesem Faden um die Mathematik, also nicht Statistik, Datenqualität etc. Dafür habe wir ja schon nen Faden.


    Welche Formeln braucht man, was gibts so an netten Simulationen oder Modellen.

    Wie machen die Experten das.

    Kann man ja hier mal sammeln oder auch aufbereiten während wir hier im Lockdown rumsitzen.


    Bin selber Physiker, also eher auf der Pragmatikerseite, arbeite aber viel mit mathematischen Modellen.

    In Statistik bin ich eher mies, u.a. weil in meiner Branche meist zu wenig Daten das Problem sind.

    Aber ich denk ich bin ganz gut drin pragmatisch aus wenig Daten ausreichende Modelle zusammen zu basteln.

    Also zumindest war mein Brötchengeber bislang immer recht zufrieden :-)

    Für Pandemie-Modelle braucht man auch kein Mathediplom.

    Aber wenn hier jemand mathematisch so richtig fit ist (habe ein paar Foristen im Verdacht ;-) ) und die Hände über dem Kopf zusammenschlägt, immer raus damit!

    Exponentialfunktion zu Polynomfunktion zu linearer Funktion verhält sich wie: Darth Vader zu Frodo zu Mickey Mouse.

    "If you have a nail and a hammer, then use it!"

    Edited once, last by woodpecker ().

  • Für stille Leser oder wen auch immer:

    Nochmal kurz der Unterschied zwischen Linear / Polynom / Exponetiell.


    Die Lineare Funktion ist im Plot ne Gerade. Das ist Mickey Mouse ;-)

    z.B. y = 10*x.


    Die Polynomfunktion hat ne Basis, die ist variabel, und einen Exponenten, der ist fest.

    Wird gern mal mit der Exponentialfunktion verwechselt, weil hat auch so eine gekrümmte Form. Ist aber ne völlig andere Liga.

    Das ist Frodo. Der haut Mickey Mouse um, ist aber sonst immer noch ein umgänglicher Kerl ;-)

    z.B. y = x^3.


    Und dann haben wir Darth Vader. Das ist das Monster, weil seine enorme Beschleunigung sich eigentlich jeder Vorstellung entzieht.

    Also die Exponentialfunktion fängt langsam, friedlich und ruhig an, bleibt anfangs sogar unter Frodo und Mickey Mouse. Aber dann, bummm!

    Sie ist wirklich schwer fassbar, man sollte sich nicht zu schnell der Illusion hingeben ihr Wachstum verstanden zu haben. Letztlich ist das unmöglich.

    Die Basis ist hier fest, der Exponent variabel.

    z.B. y = 2^x.


    Im Plot für 9 "Tage", x = 1...9.


    pasted-from-clipboard.png


    Jo schön, aber mei.


    So, nun mal fünf Tage weiter, also x = 1...14.

    pasted-from-clipboard.png

    Hm, ok, oha.


    Nun nochmal drei Tage weiter, also x = 1...19

    pasted-from-clipboard.png.

    WTF!!


    Bitte auch die Skala ansehen.

    Noch 11 Tage weiter, und auf der Skala der letzten Abbildung (also ca. 1cm pro 100.000), wäre das lila Monster aus eurem Monitor raus und 100m hoch. 100m!!


    Ich hoffe es wird jetzt klar was ich mit dem Rumreiten auf dem Schrecken der Expontialfunktion meine, sie Monster nenne und so weiter.


    Dieses dieses Filmchen von der Schachanalogie zeigt es auch gut, unbedingt man ansehen.

    Und bei Feld 10 mal pausieren und ne Schätzung machen wie Feld 64 aussieht. Und mal weiterrechnen, wie Feld 70 aussieht, und Feld 80 ;-)


    Die Exponentialfunktion regiert also den ersten Teil der Ausbreitung einer Pandemie (bis Herdenimmunität oder social distancing das bremst), das ist hoffentlich mittlerweile unstrittig. Da sind alle Länder drin, bevor sie Herdenimmunität haben oder Massnahmen ergreifen

    Und das sollte einem Angst machen.


    Ihre Basis ist in unserem Corona Fall 1,3 (kann man diskutieren).

    x ist in Tagen.

    Die Gleichung für die Zahl der Infizierten nach diesem Modell ist also:


    Morgen: Zahl der heute Infizierten k * 1,3.

    Übermorgen k * 1,3 ^2.

    Dann k * 1,3^3 usw.

    Easy as that.


    wp

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    Exponentialfunktion zu Polynomfunktion zu linearer Funktion verhält sich wie: Darth Vader zu Frodo zu Mickey Mouse.

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  • Wie ich schon erwähnt habe, folgt die Vermehrungszahl zumindest theoretisch einer logistischen Funktion. Eine logistische Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass sie im Anfangsbereich exponentiell verläuft, dann aber nach oben abschwächt. Das würde man bei Covid-19 erwarten, wenn sich durch eine überstandene SARS-CoV2-Infektion eine Immunität aufbaut.

    Die Mathematik hinter der logistischen Funktion kann man unter obigem Wikipedia-Link nachlesen.

    Ich habe ein bisschen mit meinem Kurvenfit-Programm herumgespielt. Es gelingt dem Programm mittels klassischer nichtlinearer Regression weder für Italien noch für Deutschland, ein Maximum durch Kurvenfitten zu bestimmen (das ist schade, weil das eigentlich der interessante Parameter wäre, den alle wissen wollen). In Italien sieht der Fit besser aus, wenn man auf ein Maximum von ca. 100.000 fixiert als wenn man auf ein Maximum von 42 Mio. fixiert (42 Mio. wären 70% der italienischen Bevölkerung). Dagegen kann man in Deutschland zumindest mit dem Auge keinen Unterschied erkennen, ob man das Maximum auf 100.000 oder auf 70% der deutschen Bevölkerung fixiert. Das bedeutet, wir befinden uns in Deutschland immer noch in der rein exponentiellen Phase. Im folgenden Graph ist das Maximum für beide Datensätze auf 100.000 fixiert.


    data6.jpg

    "Foreign aid is a phenomenon whereby poor people in rich countries are taxed to support the life-styles of rich people in poor countries" - Lord Peter Bauer

  • Ich fände es spannend, wenn man eine mathematische Modellierung zu den vorliegenden Daten fitten würde (auch wenn wir ausführlich diskutiert haben, dass die Daten natürlich eine Menge Fehler haben wg. Dunkelziffer, Testhäufigkeit usw.). Mit einer logistischen Gleichung funktioniert es schonmal nicht.

    Voila, hier das Modell das ich seit vier Wochen benutze.

    k(t) = k(t-1)*1,3.

    k = Anzahl Infizierte oder auch Tote.

    t = Zeit in Tagen

    1,3 = Basis = Ausbreitungsfaktor von Corona.

    Fertig.


    Das bezeichne ich mal als inkrementelle Berechnung, weil ich jeden Tag die neueste Beobachtung eingesetzt habe.


    Kann man auch als Exponentialfunktion schreiben:

    k(t) = k0 * 1,3^t.

    k0 = Anfangswert. Im Modell unten der Wert vom 8.3., 1040 gemeldete Infizierte in Deutschland.

    Das nenne ich "vom Startwert aus berechnet", weil man braucht nur EINE Beobachtung um alles vorherzusagen.


    Und dann ist im Plot noch ein Fit der Exponentialfunktion drin.

    Für nicht Mathematiker: Ich lass den Rechner den Parameter für die Basis (= Ausbreitungsgeschwindigkeit) suchen mit der die Funktion am Besten passt.

    Dreimal darf man raten was der Rechner mir als beste Basis vorschlägt. Kleiner Tipp, die Zahl steht in diesem Post weiter oben bereits 3 Mal und fängt mit einer eins an ;-)

    Für die Statistiker. Im Plot auch das R^2 und der fit auch als e-Funktion.

    R^2 gibt an für wie zuverlässig der Rechner seinen Vorschlag einschätzt. 1 wäre absolut perfekt.

    Das R^2 ist 0,9939. Das ist nicht nur ein guter Wert. Das ist ein sensationell guter Wert.


    Darauf folgt für mich mit an Sicherheit angrenzender Wahrscheinlichkeit:


    Die Zahlen die gemeldet werden folgen bislang einer Exponentialfunktion mit Basis 1,3.


    So, jetzt hat MMI zwar Recht dass die Testmethode und Anzahl zu Störungen in der Messung der Basis führt.

    Aber wie ich an anderer Stelle versucht habe darzulegen, sind diese Störungen zu vernachlässigen solange die Anzahl des Zuwachses gemeldeter Fälle deutlich unter der Testanzahl liegt und die Methodik nicht wesentlich geändert wird. Das ist in DE (noch) der Fall.

    Die Störungen haben dann (fast) nur Auswirkungen auf die Menge, aber (fast) nicht oder nur sehr kurzzeitig auf den Faktor 1,3.


    pasted-from-clipboard.png



    Blau also beobachtet.

    Rot inkrementell berechnet mit Faktor 1,3

    schwarz der Fit den der Rechner vorschlägt.

    x-Achse Zeit in Tagen beginnend mit dem 1.März.


    Klar jetzt warum man die Massnahmen und die Zahlen so gut vorhersagen konnte?

    Das Modell bildet die Wirklichkeit sehr gut ab.

    Weil es exakt die Formel enthält nach der die Natur sich auch richtet.


    So, nun kommt die schlechte Nachricht:


    Jetzt, wo auch die Journalisten-Fuzzis etc die Exponentialfunktion endlich verstanden haben (oder das denken), gilt sie nicht mehr :-)


    Ätsch! :-)


    Denn ab jetzt haben wir Massnahmen die von Tag zu Tag die Basis / AUsbreitungsgeschwindigkeit verändern werden (runterdrücken).

    Essig mit Expontialfunktion.


    Jetzt kommt die Sigmoide, oder logistische Funktion ins Spiel, die cktest ansprach.

    Vielleicht kann du die ja mal erklären hier, fänd ich super!

    Ich kenn mich damit nämlich (noch) nicht aus.


    Und das wird das mathematische Rüstzeug sein um den Decline (also Abfall der Ansteckungen in den nächsten Wochen) zu berechnen.


    Will ich auch unbedingt verstehen, denn dann sind wir der Journalie (und vielleicht tatsächlich in diesem unglaublich seltenen Fall auch dem Markt) wieder eine Nasenlänge vorraus! ;-)


    wp


    edit. während ich tippte kam cktest mir zuvor. Cool!

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  • Ich habe ein bisschen mit meinem Kurvenfit-Programm herumgespielt. Es gelingt dem Programm mittels klassischer nichtlinearer Regression weder für Italien noch für Deutschland, ein Maximum durch Kurvenfitten zu bestimmen (das ist schade, weil das eigentlich der interessante Parameter wäre, den alle wissen wollen).

    Das ist schade.


    Aber ist das nicht zwangsweise so?


    Denn der exponentielle Teil ist doch 1000x einfacher?

    Hier folgt die Kurve schön nach den Naturgesetzen der exponentiellen Ausbreitung. Keiner pfuscht rein, alles auf Schienen, wie ich ja nicht aufhöre, rumzunerven.


    Aber für den decline/die Dämpfung gilt das doch nicht?

    Denn hier ändern sich die Parameter von Tag zu Tag, je nachdem wie stark der lock-down an den vorhergeganenen Tagen grade eingehalten wurde.


    Zudem habe ich irgendwie das Gefühl, also ist eher Intuition das müsste jemand der fitter in Mathe ist mal überprüfen, dass es so ist:

    Während beim Exponentiellen Anstieg Messfehler / falsches Reporting durch die Wucht der Exponentialfunktion dominiert werden und somit wenig Rolle spielen, ist es nicht beim decline genau andersrum? Also so, dass Messfehler ab jetzt zu immer mehr Ungenauigkeit im Modell führen werden?


    Wenn es so ist, würde es bedeuten:

    - Der exponentielle Anstieg sieht in allen Ländern gleich aus, immer stumpf exponentiell (check, das tut er)

    - Der decline sieht in jedem Land anders aus und hat mehr Variabilität (müsste man mal gucken. Ich meine die NZZ hat alle Ausbreitungs und decline curves irgendwo...muss mal schauen)


    Wie gesagt, ist eher Intuition, aber ich denke das Berechnen des decline wird ungleich schwieriger als bei der Ausbreitung.


    Und noch ne Frage:

    OK, die Dämpfungsphase also der Übergang von exponetiell zu decline ist nochmal was anderes.

    Aber wenn der decline sich manifestiert, kann man da nicht auf exponentiellen decay zurück wechseln?

    Wäre einfacher zu handhaben. Mit der logistischen Funkiton hab ich keine Erfahrung....


    wp

    Exponentialfunktion zu Polynomfunktion zu linearer Funktion verhält sich wie: Darth Vader zu Frodo zu Mickey Mouse.

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  • wp hat recht: aus einer exponentiell wachsenden Funktion kann dir das Kurvenfit-Programm nicht das obere Ende schätzen - wie denn auch. Da brauchst du mindestens noch einen erkennbaren Wendepunkt. Alternativ könnte man vielleicht die oft genannten 70% Als Endgröße annehmen, auf der Zeitachse damit spielen und schauen, wann mögliche Wendepunkte kommen könnten.

    Wichtig ist aber auch zu verstehen, dass wir es mit den Maßnahmen hier nicht mehr mit einer "idealen Bakterienpopulation" zu tun haben, sondern die Ressource/Nährboden (um in der Sprache des Artikels zu bleiben) durch mehr oder weniger Lock-Down im Zeitverlauf leichter und schwerer verfügbar machen.

  • cktest,

    es macht keinen Sinn, an die italienischen Daten zu fitten, da sie von den positiv getesteten nur die symptomatischen berichten, nicht jedoch die asymptomatischen, und da sie zudem bekanntermaßen eine hohe Dunkelziffer haben.


    Balkenchart

  • zur Mathematik.


    Googlet mal nach dem SIR-Modell (susceptible, infected, removed), Wikipedia. Das beschreibt eine Pandemie, bei der

    1. jeder Infizierte im Mittel eine bestimmte Anzahl von noch nicht immunen ansteckt

    2. anschließend jeder infizierte entweder verstirbt oder geheilt und immun ist.


    Wenn Du nun mit den Daten vom Anfang der Epidemie versuchst, die Parameter der DGL zu bestimmen, dann sind die Resultate leider instabil, d.h. kleine Messfehler der Zahlen in der frühen Phase haben große Änderungen bei den entscheidenden Parametern zur Folge, die die Dauer und die maximale Anzahl der gleichzeitig infizierten bestimmen.


    Balkenchart

  • Googlet mal nach dem SIR-Modell (susceptible, infected, removed), Wikipedia. Das beschreibt eine Pandemie, bei der

    1. jeder Infizierte im Mittel eine bestimmte Anzahl von noch nicht immunen ansteckt

    2. anschließend jeder infizierte entweder verstirbt oder geheilt und immun ist.

    Ich glaube da hatte irgendwer im anderen Faden ein python Programm zu eingestellt.

    Wenn das jemand mal gefittet hat würde mich interessieren.

    Bin selber in python leider nicht "fit".


    US-Daten bin ich grad dran.

    Infizierte dort fitten mit Basis 1,33 sehr gut, auch wenn seit zwei Tagen eine starke Beschleunigung feststellbar ist (>1.4) durch die Testausweitung. Das sollte sich aber geben, sobald die Testausweitung wieder hinter die Beschleunigung der Exponentialfunktion zurück fällt.

    Tote dort fitten mit Basis 1,28 auch recht gut. Aber würde ich sagen noch instabil wegen zu kleiner Fallzahl.


    In Summe confimed USA klar die ca. 1,3.

    es macht keinen Sinn, an die italienischen Daten zu fitten, da sie von den positiv getesteten nur die symptomatischen berichten, nicht jedoch die asymptomatischen, und da sie zudem bekanntermaßen eine hohe Dunkelziffer haben.

    pasted-from-clipboard.png


    Italien ist verdammt weird.


    - Die Infizierten in Italien habe ich bis 13.3. gefittet, da dort die Effekte des lock-down am 9.3. sichtbar wurden und die Kurve da gedämpft wird.

    (kann man sich mal merken die vier Tage lag und schauen ob das in DE auch hinkommt.

    - Der fit ermittelt Basis 1,22. Das weicht irgendwie stark ab von dem was man sonst sieht. Vielleicht wird das durch deinen Kommentar erklärte? Verstehe ich noch nicht ganz. Scheint auf jeden Fall wie du sagst auf komisches Testen oder eine überdurchnittliche Dunkelziffer hinzudeuten.

    - In grün hab ich die Exponentialfunktion für besagte 1,22 berechnet

    - Man sieht schön wie die Beobachteten nach unten abbiegen als Folge des Lockdown. Aber leider auch am Ende doch wieder stärker beschleunigen (durch mehr Tests? Miese Disziplin?)

    - In rot die Exponentialfunktion mit Basis 1,3 was ich ja für den wahrscheinlichen wahren Wert halte. Angenommen 1,3 würde stimmen heißt das dass die Tests irgendwie völlig unzureichend ist, und die wahre Zahl heute sehr sehr sehr viel höher. Und dann noch plus Dunkelziffer. Das würde die vielen Toten dann doch erklären.


    Wobei:

    - Die Toten habe ich auch gefittet. Da kommt auch 1,2 raus. Also wie oben. Und die Toten "lügen" ja eigentlich nicht

    - Mir echt noch unklar was da los ist. Das wirkt als läuft das ganze Ding in Italien langsamer. Aber gleichzeitig mit immenser Dunkelziffer.

    - Theorie: Was ist, wenn es in Norditalien lokal schon Herdenimmunität gibt?! Bzw. Durchseuchung so hoch, dass der logistische Teil der Sigmoide erreicht wurde. Das wäre der Fall bei extemer Dunkelziffer und könnte dann doch die 1,2 erklären?


    Das ist ein spannender Fall!

    Exponentialfunktion zu Polynomfunktion zu linearer Funktion verhält sich wie: Darth Vader zu Frodo zu Mickey Mouse.

    "If you have a nail and a hammer, then use it!"

  • Ein einigermaßen realistisch modellierter Simulator basierend auf dem SIR-Modell zur Veranschaulichung:

    https://www.washingtonpost.com…0/world/corona-simulator/


    Aber wenn das Virus nicht ausgerottet ist, wird es wahrscheinlich zu einer zweiten und dritten Welle kommen, und das scheint mir die größere Frage zu sein als die, ob der lock-down 6 oder 8 Wochen dauert? Hier die Risikoanalyse der Bundesregierung von 2012 über eine SARS-ähnliche Epidemie, Zusammenfassung auf Seite 5, Rest ab Seite 55:

    https://dipbt.bundestag.de/dip21/btd/17/120/1712051.pdf

    The four most expensive words in the English language are "this time it’s different." (John Templeton)

  • [...]

    US-Daten bin ich grad dran.

    Infizierte dort fitten mit Basis 1,33 sehr gut, auch wenn seit zwei Tagen eine starke Beschleunigung feststellbar ist (>1.4) durch die Testausweitung. Das sollte sich aber geben, sobald die Testausweitung wieder hinter die Beschleunigung der Exponentialfunktion zurück fällt.

    Nein, wird es nicht. Die USA haben eine Bevölkerung von 320 Mio. Irgendwo da draußen sind noch tausende infizierter, die sie nicht kennen. Wie wollen sie die finden, wenn sie nicht mindestens 30 Mio Tests pro Tag machen? Können sie aber nicht. Deutschland hat pro Bevölkerung mit die höchste Testkapazität. Wir machen etwa 20000 Tests pro Tag. Bezogen auf die Bevölkerungszahl müsste man das um einen Faktor 400 hochskalieren. Das ist nicht drin.

    Daher wird in den USA die "Zahl der positiv getesteten" nie mehr wieder die Zahl der tatsächlich infizierten widerspiegeln und auch nicht deren Wachstumsrate.


    Genau wie in Italien übrigens.


    - Die Infizierten in Italien habe ich bis 13.3. gefittet,

    Nein, hast Du nicht. Du hast die Zahl der von Italien als positiv getestet und symptomatisch berichteten Fälle gefittet. Diese Zahl ist eine künstliche Verwaltungsgröße. Sie hat mit der tatsächlichen Epidemie nicht viel zu tun. Die ist um ein Vielfaches höher und hat auch potentiell eine andere Wachstumsrate.


    Wenn Du eine Schätzung für die Ausbreitung der Epidemie haben willst, nimmst Du die Zahl der Toten (allerdings bevor das Gesundheitssystem zusammenbricht):

    Italien: Todesfälle am 7.3.2020: 233


    Dann weißt Du, dass die Sterblichkeit irgendwo in der Gegend von 0.5% liegt und dass die schweren Fälle in der zweiten Woche lebensbedrohlich werden. Demnach hattest Du zwei Wochen vorher, am 22.2.2020, schon 233/0.005 = 46600 infizierte. Aus der Anfangsphase der Epidemie in Südkorea, China oder Deutschland weißt Du, dass sich ohne Einschränkung der Mobilität die Zahl der infizierten alle drei Tage verdoppelt. Damit hast Du für den 8.3.2020, 15 = 5*3 Tage später, dann schon eine Schätzung von 46600 * 2^5 = 1.5 Mio infizierten.


    Da sich diese enorme Anzahl in Norditalien konzentriert, geht die Epidemie dort bestimmt schon in die Sättigung, und die Exponentialfunktion flacht ab.


    Die bittere Konsequenz ist aber auch, dass sich die Zahl der Toten alle 3 Tage verdoppelt. Das war bisher tatsächlich der Fall. Und es wird erst ca. 2-3 Wochen nachdem die Zahl der Infizierten nicht mehr wächst, aufhören.


    Wenn der Shutdown in Italien funktioniert hat, sollte die Entspannung also im Laufe der kommenden Woche sichtbar werden. Vielleicht auch noch eine Woche später, das hängt davon ab, wie lange die kritischen Fälle auf der Intensivstation in der Schwebe sind.


    Die Rechnung oben hängt natürlich von der Schätzung der tatsächlichen Sterblichkeit ab (hier 0.5% angenommen) und von der Schätzung der Ausbreitungsgeschwindigkeit ohne Mobilitätseinschränkung (Verdopplung alle 3 Tage). Wenn Du diese Werte variierst, ändern sich natürlich auch die anderen Werte, aber es bleibt ganz offensichtlich, dass Italien nur einen winzigen Bruchteil der Zahl der infizierten gestestet hat und auch berichtet.


    USA übrigens auch.


    Für dort gibt es auch eine interessante Schätzung. Schon Ende Januar gab es in der Nähe von Seattle einen Fall. Bei dem Patienten wurde das Virus-Genom sequenziert.


    Jetzt haben die Corona-Viren den Vorteil, dass sie nur langsam mutieren, nämlich etwa einmal pro Woche in einem Nucleotid. Als man dann Anfang März die Fälle im Seniorenheim in Washington State hatte und dort auch sequenzierte, sah man, dass das Virus dem früheren aus der Gegend von Seattle am ähnlichsten war, von dort aber schon 6mal mutiert war. Damit hat man sofort die Schätzung, dass das Virus schon seit 6 Wochen in der Bevölkerung zirkulierte. 6 Wochen, 42 Tage, 42=14*3, d.h.2^14=16000 infizierte. Irgendwo in einem Land von 320 Millionen. Siehe Dieses Blog.

    Die Evolution des Virus und die geographischen Zusammenhänge werden alle auf Next Strain veröffentlicht und lassen sich dort visualisieren.


    Balkenchart


  • Frage an die Mathematiker,

    für die Sigmoid Funktion habe ich folgendes gefunden 1/(1-e^-t) , siehe Bild.

    Ist der linke Teil der Kurve eine e-Funktion, bzw. eine Exponentialfunktion, wenn mann für die konstante e t.B. 1,3 oder so einsetzt ?


    P.S.


    der Zuwachs der Infiziert gemeldeten Fälle in DE war von Fr von etwa 19000 auf Sa etwa 21000 nur ca. 12,2 %, sonst doch eher min 25% bzw. , 1,25 (oder?)

    hat jemand eine Erklärung ?

  • Zuwachs der gemeldete Fälle in DE = 1,29 im März


    dl = log(Wert(E)/Wert(A)) +100


    - siehe dak429 Nach eigenen Angaben 16. Nov. 2009


    Tag Anzahl Zuwachs in dl
    März 1 130
    2 159 1,223 8,75
    3 196 1,233 9,09
    4 262 1,337 12,60
    5 482 1,840 26,47
    6 670 1,390 14,30
    7 799 1,193 7,65
    8 1040 1,302 11,45
    9 1176 1,131 5,34
    10 1457 1,239 9,31
    11 1908 1,310 11,71
    12 2078 1,089 3,71
    13 3675 1,769 24,76
    14 4585 1,248 9,61
    15 5795 1,264 10,17
    16 7272 1,255 9,86
    17 9257 1,273 10,48
    18 12327 1,332 12,44
    19 15320 1,243 9,44
    20 19848 1,296 11,25
    21 22230 1,120 4,92
    Mittewert 1,293 11,16
  • Quote

    Frage an die Mathematiker,

    für die Sigmoid Funktion habe ich folgendes gefunden 1/(1-e^-t) , siehe Bild.

    Ist der linke Teil der Kurve eine e-Funktion, bzw. eine Exponentialfunktion, [...]

    Nicht der gesamte linke Teil, sondern nur der linke Bereich des linken Teils.


    Die Funktion 1/(1+e^-t) verhält sich asymptotisch für t gegen minus Unendlich wie die Exponentialfunktion e^t. Oder salopp formuliert: Je weiter links (im linken Teil), desto größer die Übereinstimmung.

    "Es ist leichter, einen Atomkern zu spalten als ein Vorurteil." - Albert Einstein -

  • der Zuwachs der Infiziert gemeldeten Fälle in DE war von Fr von etwa 19000 auf Sa etwa 21000 nur ca. 12,2 %, sonst doch eher min 25% bzw. , 1,25 (oder?)

    hat jemand eine Erklärung ?

    Das RKI hat mitgeteilt, dass es zu Verzögerungen bei der Datenübermittlung gekommen ist:

    Am aktuellen Wochenende wurden nicht aus allen Ämtern Daten übermittelt, sodass der hier berichtete Anstieg der Fallzahlen nicht dem tatsächlichen Anstieg der Fallzahlen entspricht. Die Daten werden am Montag nachübermittelt und ab Dienstag auch in dieser Statistik verfügbar sein.

    Ähnliches hatten wir schon in der Vergangenheit, z.B. am 9., 11. oder 14. März (ist also kein reiner Wochenendeffekt).

    "Foreign aid is a phenomenon whereby poor people in rich countries are taxed to support the life-styles of rich people in poor countries" - Lord Peter Bauer

  • Wie schon woanders gesagt haben die ganzen vorliegenden Zahlen bei weitem nicht die erforderliche Genauigkeit, um die interessanten Parameter der Kurve zu schätzen (Zeit des Peaks und max Anzahl der gleichzeitig infizierten). Wenn die Politiker dann noch Veranstaltungen absagen und Läden schließen und damit das R0 ändern, dann gilt das Modell sowieso nicht mehr.


    Balkenchart

  • Wenn ich die von dak427 angesprochene Sigmoid-Funktion jetzt einfach mal hastig auf woodpeckers Modell übertrage, würde das ganze ungefähr so aussehen:


    k = Anzahl Infizierte oder auch Tote

    t = Zeit in Tagen (vor/nach dem Wendepunkt)

    1,3 anfänglicher Ausbreitungsfaktor von Corona


    t=0 Wendepunkt (Zahl der Neuinfektionen sinkt erstmals)

    k0 Zahl der Gesamtinfektionen bis zum Wendepunkt


    Das Modell als Sigmoid-Funktion geschrieben:

    k(t) = 2 * k0 / (1+1,3^-t) (Achtung: minus t)


    Problem: k0 kann jetzt nicht den Daten entnommen werden, sondern muss geschätzt bzw. durch curve fitting ermittelt werden. Ich hab' da keine Software, aber vielleicht kann ja jemand anderes (woodpecker?) mal prüfen, für welches k0 die Kurve dann am besten zu den Daten passt (bei gegebener Basis 1,3).


    Falls das technisch machbar ist, könnte man hier neben k0 ggf. auch noch mal leicht an der Basis herumspielen.

    "Es ist leichter, einen Atomkern zu spalten als ein Vorurteil." - Albert Einstein -

    Edited once, last by vanilla.ice ().

  • Nachtrag zum Sigmoid-Modell:


    Neben dem berechtigten Einwand von Balkenchart (hinsichtlich Datenqualität) dürfte es zum jetzigen Zeitpunkt ohnehin schwierig werden den k0 Wendepunkt-Parameter zu schätzen. Interessant wird es dann, wenn der tägliche Wachstumsfaktor von 1,3 wirklich zu sinken beginnt.

    "Es ist leichter, einen Atomkern zu spalten als ein Vorurteil." - Albert Einstein -