Mathematik von Pandemien und Exponentialrechnung

  • Viel harte Materie, bin grad nur am Handy, daher kann ich es noch nicht hinreichend überblicken, bzw. verstehe auf die schnelle nicht genau worauf du raus willst.


    Nur soviel:

    Mein Modell ist ja, wie du sagst, auch eine Treppenfunktion, nur passe ich, wie du auch richtig sagst, halt jeden Tag die Basis an.

    Daher, ja, hat auch mein Modell noch einen Fehler gegenüber dem korrekten, stetigen Modell wo eben ln(2) rauskommt.


    Den Beweis habe ich nämlich auf dem tatsächlich stetigen Grenzfall geführt!


    Die Funktion dafür lautet dann:

    Kumulierte Infizierte x(t) = e^(ln b(t) * t).


    Das ist also eine Exp-Funktion wo sich die Basis b(t) *kontinuierlich* ändert.

    Und da passt dann die ln(2) endlich präzise für die nötige Änderung der Verdopplungszeit.


    Ich denke wenn du den Beweis siehst wird es klar...kommt sobald ich Zeit habe...


    Bzw kannst du auch selber versuchen wenn das Hefe alle ist:


    Man braucht nur die funtion x(t) von oben, die Definition für die Verdopplungszeit h(t) = ln(2) / ln b(t) , und die These dass

    h(t)' = ln(2) => x(t)'' = 0.

    Exponentialfunktion zu Polynomfunktion zu linearer Funktion verhält sich wie: Darth Vader zu Frodo zu Mickey Mouse.

    "If you have a nail and a hammer, then use it!"

  • Hier gehts ja ganz schon frech zu am Freitagabend ;) Prost und ein schönes Wochenende!

    Mei, wir ringen halt noch um die Wahrheit...und das Ringen ist noch nicht zu Ende ;-)

    Insofern alles gut, ich denke keiner von uns wäre alleine so weit gekommen.


    Und jetzt hol ich mir auch ein Bier.

    Prost!

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  • woodpecker


    Mir ging es in erster Linie darum, zu verdeutlichen, dass unsere Beweise - deiner wie auch meiner - jeweils einen (verdeckten) Zirkelschluss darstellen.


    Wir führen keinen echten Beweis, sondern wir "beweisen" nur eine dem jeweiligen Modell innewohnende Eigenschaft, die wir (wenn auch unbewusst) so in das Modell "hineinkonstruiert" haben. Ganz hart ausgedrückt könnte man sagen: Wir beweisen (über Umwege) die Definition!


    Unsere "Beweise" lassen sich - im jeweiligen Modell - nur führen, weil das Modell genau so konstruiert ist, wie es konstruiert ist.


    Man könnte, wie in meinem Beitrag oben angesprochen, beliebig viele derartige Modelle "bauen", welche alle an den Stützstellen (=Gesamtinfektionen) exakt übereinstimmen (weil sie eben so "gebaut" sind) und damit scheinbar die Bedingung N = const. erfüllen, aber zu völlig unterschiedlichen Verdopplungszeiten führen.


    Das wäre aber ein nicht aufzulösender Widerspruch. Das kann nicht sein! Es kann nur eines von diesen Modellen das "Richtige" sein. Aber welches? Das versuchen wir jetzt herauszufinden.


    Die zentrale Forderung ist N = const. und wir beide berechnen x(t+1) = x(t) + N. Das ist klar. Da sind wir uns einig. Spinnen wir das jetzt mal weiter...


    Es gelte also:


    x(t+1) = x(t) + N = x(t) + N/1


    Wir "verfeinern" jetzt das Zeitgitter und machen die Abstände immer kleiner. Dann gilt:


    x(t+delta_t) = x(t) + N/delta_t


    Wir subtrahieren x(t), teilen durch delta_t und erhalten:


    [ x(t+delta_t) - x(t) ] / delta_t = N


    Wir bilden den Grenzwert für delta_t -> 0 und finden:


    dx(t)/dt = N


    Wir Lösen durch integration und erhalten eine Gerade:


    x(t) = N*t + c


    Die Forderung N = const. zieht also unmittelbar eine weitere Forderung nach sich, nämlich dass x(t) eine Gerade, d.h. eine lineare Funktion sein muss.

    "Es ist leichter, einen Atomkern zu spalten als ein Vorurteil." - Albert Einstein -

  • Du bist auf dem richtigen Weg.

    Ja, x(t) muss wie eine Gerade aussehen! Bzw. genauer gesagt: Es muss nicht unbedingt eine lineare Funktion sein, nur die Ableitung muss konstant sein!


    Nun nimm mal die von mir konstruierte Exponetialfunktion mit veränderlicher Basis:

    x(t) = b(t)^t oder als e-Funktion geschrieben x(t) = e^( ln(b(t)) * t).

    Und jetzt suche die Form von b(t), die zur Folge hat dass diese Funktion x(t) eine Gerade ergibt bzw. die Ableitung konstant ist.

    Das geht nämlich!

    Tipp: Die Verdopplungszeit von b(t), definiert als ln(2)/ln(b(t)) muss die Steigung ln(2) haben ;-) ;-)


    Kannst auch mein Modell im Excel nehmen und die Stützstellen immer granularer machen, dann kann man das auch numerisch sehen...


    Voila, hast du eine Exponentialfunktion deren Basis sich so verändert, dass die Ableitung eine Konstante ist. Exakt das was wir suchen.

    :thumbsup:

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  • Na gut, wir nehmen deinen Ansatz und setzen also x(t) = b(t)^t. Unsere Forderung ist weiterhin, dass für die erste Ableitung dx(t)/dt = N = const. gelten soll.


    Damit haben wir folgende Differentialgleichung zu lösen:


    dx(t)/dt = d[b(t)^t]/dt = N


    Jetzt habe ich ein Problem. Nein, eigentlich zwei:

    1. Ich habe das schon länger nicht mehr gemacht (außer die niedliche im letzten Beitrag)

    2. Das Weißbier schärft das Denken auch nicht unbedingt.

    Ich schummele deshalb ausnahmsweise mal und befrage WolframAlpha. Der meint, es sei:


    b(t) = (N*t + c) ^(1/t) (also die t-te Wurzel)


    Ich setze das oben ein und erhalte meine Gerade:


    x(t) = b(t)^t = (N*t + c)^((1/t)*t) = N*t + c


    Es gibt nur eine Art von differenzierbaren Funktionen, deren erste Ableitung konstant ist (außer der Nullfunktion), nämlich lineare Funktionen. Deine Exponentialfunktion mit veränderlicher Basis sieht nicht nur aus wie eine Gerade, nein es ist (für delta_t -> 0) eine Gerade und zwar genau die gleiche wie bei mir.


    Wenn du sagst, dass deine Funktion wie eine Gerade aussieht, aber keine Gerade ist (also keine lineare Funktion), dann gibt es mathematisch gesehen eigentlich nur noch eine Möglichkeit: Du hast eine ziemlich exotische Funktion gebaut, die wahrscheinlich überall stetig aber nirgends differenzierbar ist. :huh:

    "Es ist leichter, einen Atomkern zu spalten als ein Vorurteil." - Albert Einstein -

  • Abseits unserer mathematischen Diskussion:


    Zwischenstand (neue Daten ergänzt, Modell unverändert):


    corona-d-04-03.png


    Der kritische Zeitraum hat begonnen. Jetzt müssen wir sehen, wie schnell und wie stark sich die Kurve abflachen wird. Hoffen wir das Beste...

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  • Naja, die grüne Kurve wird es schon mal nicht werden. Wir hatten gestern abend 91159 Infizierte, und die Mortalität liegt vermutlich ungefähr bei 2% (siehe mein Posting zu diesem Thema). Dann hätten wir selbst bei einer Dunkelziffer von Null in 14 Tagen (also am 18.04.2020) 1800 Tote.


    Wie ich im gleichen Beitrag dargelegt habe, liegt die Dunkelziffer aber eher bei 200% (d.h. es gibt dreimal so viele Infizierte wie nachgewiesen). Selbst wenn wir optimistisch sind und die Dunkelziffer nur auf 100% setzen (es gäbe also doppelt so viele Infizierte wie nachgewiesen), ergäben sich 3600 Tote, also sogar oberhalb der roten Kurve.


    Es gäbe noch eine methodisch völlig andere Herangehensweise, die sich allerdings nur für kurzfristige Prognosen eignet. Die deutsche Mortalitätskurve lag bis vor drei Tagen ziemlich genau auf der niederländischen, und die waren uns dabei ziemlich genau um zwei Tage mit den Mortalitätszahlen voraus. Daraus kann man die Prognose ableiten, dass in zwei Tagen (also am 05.04., wenn alle Daten zusammengefasst sind) in Deutschland mindestens 1500 Leute an Covid-19 gestorben sein werden (Referenzwert Niederlande am 03.04.: 1487 Tote). Wahrscheinlich werden es mehr, da seit drei Tagen die deutsche Mortalitätskurve von der niederländischen nach oben abweicht. Auch das spricht dafür, dass es die grüne Kurve nicht wird.


    Der erste Tote in meiner Region war übrigens nur unwesentlich älter als ich und hatte keine bekannten Vorerkrankungen :/

    "Foreign aid is a phenomenon whereby poor people in rich countries are taxed to support the life-styles of rich people in poor countries" - Lord Peter Bauer

  • Naja, die grüne Kurve wird es schon mal nicht werden.

    Da hast du leider Recht, die ist aber auch sehr optimistisch gerechnet.


    Die größte Unsicherheit ist der Übergang von der (schnellen) exponentiellen Phase in die Phasen der Verlangsamung und dann Stabilisierung. Wie und wann findet das statt? Hier haben jeweils ein paar Tage hin oder her einen immensen Effekt!


    In Bezug auf das Modell: siehe Beitrag #119

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  • Und nur noch mal zur Erinnerung:


    Nicht nur die grüne Kurve, sondern das ganze Modell an sich ist - mit gewissen "Reserven" - vergleichsweise optimistisch gerechnet (Südkorea!). Wenn wir mit unseren Maßnahmen und dem sich daran anschließenden Umgang mit der Pandemie keinen vergleichbaren Gewinn an Kontrolle über diese erzielen, dann kann es auch schlimmer kommen.

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  • Hier noch einmal ein simples Modell: ich berechne


    1. Die heute Infizierten I(t) als heute insgesamt positive Getesteten heute minus den vor 10 Tage positiv Getesteten.
    2. Ich berechne die Zuwachsrate (Neu positiv getestet heute) / I(t)

    Grob gesagt sagt das aus wie viele Neuinfizierte ein Infizierter am Tag produziert. Wenn ich von einer Infektionszeit von 10 Tagen ausgehe, muss diese unter 0,1 liegen, dann geht die Epidemie zurück.



    pasted-from-clipboard.png


    Dann habe ich die Zahlen mal mit anderen Ländern ab Start der Lockdowns verglichen, um die Effektivität der Maßnahmen zu vergleichen, und ein Prognose für den weiteren Verlauf und die Restdauer des Lockdowns zu machen:



    pasted-from-clipboard.png


    Fazit: In Hubei war erst 18 Tage nach Beginn des Lockdowns ein Durchbruch erreicht. Ende der Woche wissen wir mehr für Deutschland.


    Man könnte das Modell noch einmal modifizieren, in dem man z.B. mit 7 oder 12 Tagen infektiöser Krankheitsdauer rechnet.


    Nachtrag: Die Zahlen gehen bis gestern (Freitag). Morgen und übermorgen werden die Raten nach unten gehen, wegen der geringeren Zahlen am Wochenende und dem Artefakt, dass dann zwei Wochenenden in den Zahlen stecken.

    41% aller Statistiken sind frei erfunden.

    Edited 3 times, last by nixda ().

  • Noch ein paar Anmerkungen:

    • Die Zahlen oben sind unabhängig von der Dunkelziffer. Solange der Faktor tatsächlich Infizierten/positive Getesteten innerhalb des 10 Tageszeitraum sich nicht ändert, bleiben die Ergebnisse unabhängig von der Größe dieses Faktors identisch (wenn die Dunklziffer kleiner werden würde, wäre die Realität sogar günstiger als die Zahlen das anzeigen)
    • Mit einer Reproduktionsrate von 0,1 Neuinfizierten je Infizierten am Tag scheint das Virus mit den Social Distancing Maßnahmen tatsächlich nicht mehr sehr ansteckend zu sein. Ich gehe bei dieser Zahl dann eher von Übertragungen am Arbeitsplatz oder in der häuslichen Umgebung/Mitbewohner aus.
    • Das könnte auch erklären, warum in Bayern das Virus sich (immer noch) schneller verbreitet als in Berlin, obwohl es in Berlin mehr Vollidioten gibt, die das für einen Hoax halten und die Ausgehverbote für eine unverbindliche Empfehlung an den mündigen Bürger: In Berlin gibt es mehr Singlehaushalte (54%) wie im Flächenland Bayern (41%)
    • Und das könnte auch erklären, warum in Italien oder Spanien sich das Virus schneller ausgebreitet hat.

    pasted-from-clipboard.png

  • Dass in der eher anarchistische tickenden Großstadt Berlin die Ansteckungs- und Todesrate nicht deutlich schneller wächst als in deutlich dünner besiedelten Flächenländern, gehört für mich zu den großen (und als direkter Nachbar sehr erfreulichen) Überraschungen dieser Krise. Ich hätte mich nicht gewundert, wenn es hier ähnlich wie in Mailand und News York eskaliert.

    "(vii) His first priority would be reservation of much time for quiet reading and thinking, particularly that which might advance his determined learning, no matter how old he became; and
    (viii) He would also spend much time in enthusiastically admiring what others were accomplishing."


    (Ausschnitt aus Charlie Mungers Jobbeschreibung für den Chairman von Berkhire Heathaway, BH-Aktionärsbrief anno 2015)

  • Prognosen sind ja schwierig, insbesondere wenn sie die Zukunft betreffen, aber ich lehne mich jetzt auch mal aus dem Fenster und prognostiziere die Todesfälle für die nächsten 12 Tage. Dazu habe ich einfach die Zahl der gemeldeten Infizierten genommen und mit der Zahl der gemeldeten Toten verglichen. Ohne das mathematisch optimiert zu haben (das wäre doch eine Herausforderung für die mathematisch versierteren Personen hier ;)), kann ich beide Kurven sehr gut übereinander legen, wenn ich die Zahl der Infizierten durch 20 teile (das würde eine Mortalität von 5% implizieren, man muss aber dabei bedenken, dass in der Zahl der gemeldeten Infizierten mit einer Dunkelziffer behaftet ist und in Wirklichkeit höher ist) und um 12 Tage verschiebe. Ich gehe also davon aus (so wie alle), dass die Zahl der Todesfälle linear von der Zahl der Erkrankten abhängig ist:


    prognose.jpg


    Damit ergäbe sich für die nächsten Tage folgende Tabelle:


    05.04.: 1649 Todesfälle
    06.04.: 1866 Todesfälle
    07.04.: 2197 Todesfälle
    08.04.: 2544 Todesfälle
    09.04.: 2885 Todesfälle
    10.04.: 3105 Todesfälle
    11.04.: 3344 Todesfälle
    12.04.: 3590 Todesfälle
    13.04.: 3894 Todesfälle
    14.04.: 4239 Todesfälle
    15.04.: 4558 Todesfälle
    16.04.: 4805 Todesfälle


    Ich bin gespannt...

    Eine mögliche Überprüfung des Modells wäre der Test an anderen Länderdaten. Dabei würde ich erwarten, dass die 12 Tage einigermaßen gleich sein müssten, aber der Faktor 20 aufgrund unterschiedlicher Dunkelziffern in anderen Ländern anders ausfällt.

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  • cktest

    Gefällt mir.

    Zumal in der Größenordnung ähnliches rauskommt wie sowohl bei meinem Bierdeckelmodell als auch bei vanillas Modell.

    Nur eine Anmerkung: Ich habe den Eindruck dass der lag Verstorbene zu Infizierten sich mit der Zeit leicht erhöht.

    Kannst du diese These mal checken in deinen Zahlen oder täusche ich mich?

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    "If you have a nail and a hammer, then use it!"

  • Nur eine Anmerkung: Ich habe den Eindruck dass der lag Verstorbene zu Infizierten sich mit der Zeit leicht erhöht.

    Kannst du diese These mal checken in deinen Zahlen oder täusche ich mich?

    Ist das nicht bei einer prozentual abnehmenden Ansteckungsgeschwindigkeit unvermeidlich?

    "(vii) His first priority would be reservation of much time for quiet reading and thinking, particularly that which might advance his determined learning, no matter how old he became; and
    (viii) He would also spend much time in enthusiastically admiring what others were accomplishing."


    (Ausschnitt aus Charlie Mungers Jobbeschreibung für den Chairman von Berkhire Heathaway, BH-Aktionärsbrief anno 2015)

  • Ist das nicht bei einer prozentual abnehmenden Ansteckungsgeschwindigkeit unvermeidlich?

    Nein, würde man eigentlich nicht erwarten.

    Für jeden einzelnen gilt ja weiterhin: Er steckt sich am Tag t an und verstirbt am Tag t+x.

    zB x = 12 bei cktest. Und dieses x würde man erwarten dass es auch immer 12 bleibt, also im Mittelwert.

    Und hier liegt vielleicht(?) die Krux: Im MITTELWERT. In Wahrheit ist es eine Verteilung um den Mittelwert. Wenn die schief ist, kann das alle möglichen Effekte haben...

    Aber das übersteigt meine Intuition, da müsste ggf. vanilla.ice was zu sagen ;-)

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