Mathematik von Pandemien und Exponentialrechnung

  • Mein Fehler. Ich sah nicht, dass auch die zeitliche Verschiebung schon einkalkuliert war.

    "(vii) His first priority would be reservation of much time for quiet reading and thinking, particularly that which might advance his determined learning, no matter how old he became; and
    (viii) He would also spend much time in enthusiastically admiring what others were accomplishing."


    (Ausschnitt aus Charlie Mungers Jobbeschreibung für den Chairman von Berkhire Heathaway, BH-Aktionärsbrief anno 2015)

  • cktest,


    den Ansatz finde ich sehr plausibel. Kannst Du es mal für Südkorea prüfen? Da sollte die Dunkelziffer minimal sein. Durch den Vergleich mit Deutschland kannst Du dann vielleicht sogar die Dunkelziffer hierzulande schätzen.


    Balkenchart

  • Update der Verdopplungszeiten.

    Datenquelle die ich verwende:

    https://www.worldometers.info/coronavirus/country/germany/


    Berechnung der Verdopplungszeit (umgestellt auf das m.E. weniger elegante, aber verbreitete Vorgehen):

    h(t) = Infizierte(t-1) / ( Infizierte(t)-Infizierte(t-1) )


    Alles auf Rohdaten, keine Glättung.
    Graph beginnt am 1.3.2020.

    Steigung der Sollgerade = 1.


    Schaut soweit hoffnungsvoll aus.

    Wie irgendwer hier noch behaupten kann dass die Massnahmen keine Wirkung zeigen, ist mir völlig unklar.


    pasted-from-clipboard.png

    Rohdaten (ab 15.3.): Datum / Infizierte / Inkrement / Verdopplungszeit h

    15 15.03.2020 5.813 1.214 3,79
    16 16.03.2020 7.272 1.459 3,98
    17 17.03.2020 9.367 2.095 3,47
    18 18.03.2020 12.327 2.960 3,16
    19 19.03.2020 15.320 2.993 4,12
    20 20.03.2020 19.848 4.528 3,38
    21 21.03.2020 22.364 2.516 7,89
    22 22.03.2020 24.873 2.509 8,91
    23 23.03.2020 29.056 4.183 5,95
    24 24.03.2020 32.991 3.935 7,38
    25 25.03.2020 37.323 4.332 7,62
    26 26.03.2020 43.938 6.615 5,64
    27 27.03.2020 50.871 6.933 6,34
    28 28.03.2020 57.695 6.824 7,45
    29 29.03.2020 62.435 4.740 12,17
    30 30.03.2020 66.885 4.450 14,03
    31 31.03.2020 71.808 4.923 13,59
    32 01.04.2020 77.981 6.173 11,63
    33 02.04.2020 84.794 6.813 11,45
    34 03.04.2020 91.159 6.365 13,32
    35 04.04.2020 96.092 4.933 18,48
    36 05.04.2020

    Exponentialfunktion zu Polynomfunktion zu linearer Funktion verhält sich wie: Darth Vader zu Frodo zu Mickey Mouse.

    "If you have a nail and a hammer, then use it!"

  • In Wahrheit ist es eine Verteilung um den Mittelwert. Wenn die schief ist, kann das alle möglichen Effekte haben...

    Die ist bestimmt schief, und zwar wird sie einen Schwanz nach hinten haben. Es kann nicht sein, dass alle Infizierten nach einer bestimmten Zahl von Tagen entweder geheilt oder tot sind, und es kann auch nicht sein, dass das um einen Mittelwert normalverteilt ist. Das sieht man auch sehr schön an der "Diamond Princess". Da hat lt. Wikipedia der Kapitän als letzter das Schiff am 2. März verlassen, und lt. JHU gab es gestern immer noch 82 "active cases". Wenn es sich nicht nur um einen Fehler in der Datenübermittlung handelt, geht es denen bestimmt nicht gut.

    "Foreign aid is a phenomenon whereby poor people in rich countries are taxed to support the life-styles of rich people in poor countries" - Lord Peter Bauer

  • Nur mal am Rande, wenn man sagt 60% oder 70% müssten den Virus haben, um Herdenimmunität zu erreichen und die Älteren sollten geschützt werden, dann sollten sich bei der Altersstruktur in D (rein theoretisch!) bei 60% alle bis 50 Jahren und bei 70% alle bis 58 Jahren infizieren. Zahlen etwas Pi mal Daumen aus Grafiken zur Altersstruktur.

  • Nur mal am Rande, wenn man sagt 60% oder 70% müssten den Virus haben, um Herdenimmunität zu erreichen und die Älteren sollten geschützt werden, dann sollten sich bei der Altersstruktur in D (rein theoretisch!) bei 60% alle bis 50 Jahren und bei 70% alle bis 58 Jahren infizieren. Zahlen etwas Pi mal Daumen aus Grafiken zur Altersstruktur.

    Mag sein.

    Aber wenn nur die Jüngeren immun sind, dann hat man ein riesen Problem wenn das Virus auf eine Population mit vorwiegend Alten trifft. Pflegeheim, Kirchenchor, Kreuzfahrtschiff, Florida ;-)

    Exponentialfunktion zu Polynomfunktion zu linearer Funktion verhält sich wie: Darth Vader zu Frodo zu Mickey Mouse.

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  • Können Menschen, die immun sind, das Virus übertragen? Also es schadet ihn selber nicht, aber sie sind trotzdem Träger von wenigen Viren, die ihr Immunsystem permanent erfolgreich bekämpft. Aber mit den wenigen Vieren können sie trotzdem andere Anstecken?

    Falls nicht, bräuchte es einen verlässlichen Test, dass jemand Immun ist und kann danach (wieder) im Altenheim arbeiten.

  • Ja. Können sie.

    "If it sounds too good to be true, it probably is."


    "Theoretisch gibt es keinen Unterschied zwischen der Theorie und der Praxis. Praktisch stimmt das aber nicht."


    "Erfahrung ist das was man bekommt, wenn man nicht bekommt was man möchte."

  • und wenn ich mich impfen lassen würde?

    Mehr als immun kann man nicht werden.

    "If it sounds too good to be true, it probably is."


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  • Da auch Jüngere betroffen sein können, bringt eine Impfung für jeden selbst > 0.

    ich kann aber auch mich einfach infizieren lassen bzw. infiziert sein, würde dann zu einer Impfung keinen Unterschied machen, oder? Mir wurde bisher immer gesagt man solle sich impfen lassen wegen den älteren Menschen (z.B Influenza), sorry, aber dass macht logisch dann null Sinn...

  • ich kann aber auch mich einfach infizieren lassen bzw. infiziert sein, würde dann zu einer Impfung keinen Unterschied machen, oder? Mir wurde bisher immer gesagt man solle sich impfen lassen wegen den älteren Menschen (z.B Influenza), sorry, aber dass macht logisch dann null Sinn...

    Die Impfung ist einer Infektion mit der dazugehörenden Erkrankung vorzuziehen:). Gerade bei Influenza ändert sich der Stamm sehr rasch. Impfung von Gesunden macht fast immer Sinn.

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  • Weil drüben im "Zahlen & Fakten"-Thread das Thema Verdopplungszeit auch intensiver diskutiert wird, will ich das hier ebenfalls noch einmal aufgreifen.


    Aber zuerst eine Nachricht an woodpecker :


    Ich habe den Eindruck, dass wir bei der Frage "ln2 oder 1?" nicht mehr richtig zusammen kommen. Aber wenn alles nichts hilft, dann können wir uns doch immer noch darin einig sein, uns in dieser Frage eben nicht einig zu sein. Das ist kein Problem. Letztlich führen wir ohnehin nur eine akademische Debatte. Das einzig entscheidende - und für die Praxis relevante - Kriterium bei unseren Überlegungen ist doch N = const. Und darin sind wir uns ja mehr als einig. ;)


    ---


    So, nicht erschrecken, hier kommt jetzt ein längerer Beitrag, aber vermutlich auch erst mal mein letzter zum Thema Verdopplungszeit (mit Begründung!) und wenn dann am Ende jemand den Eindruck hat, dass nicht nur die Zahl der Infizierten exponentiell steigt, sondern auch die Länge meiner Beiträge, dem sei versichert: Das wird auch wieder besser!


    Ich werde versuchen, es möglichst verständlich zu erklären, ganz ohne (ein kleines Bisschen) Mathe werde ich aber nicht auskommen. Es wird sich jedoch in Grenzen halten, versprochen!


    Also hier mein "Wort zum Sonntag":


    Wir teilen den Verlauf der Epidemie grob in drei verschiedene Stadien ein, weil die nämlich mathematisch alle ganz unterschiedlich zu behandeln sind. Auf Los, geht's los:


    Stadium I - Exponentielle Ausbreitung (wo wir her kommen)


    In diesem Stadium wächst alles exponentiell (also immer und immer schneller): die Neuinfektionen, die Gesamtinfektionen, die aktiven Fälle und die Todesfälle. Einfach alles. Das haben wir ausführlich besprochen und zumindest hier im Forum hat das auch jeder verstanden.


    Wir müssen also alles mit einer Exponentialfunktion beschreiben und diesen Ansatz wählen wir auch zur Berechnung der Verdopplungszeit. Wenn wir aus den Daten unseren Wachstumsfaktor (nennen wir ihn a) bestimmt haben, dann können wir folgendermaßen die Verdopplungszeit berechnen (Hinweis: Mit 'ln' ist der natürliche Logarithmus gemeint):

    Verdopplungszeit = ln 2 / ln a


    Ein Beispiel: Wachstumsfaktor a = 1,3 (wie oft von uns beobachtet)

    Verdopplungszeit = ln 2 / ln 1,3 = 0,693 / 0,262 = 2,645


    Mehr gibt's hier gar nicht zu sagen.


    Stadium II - Verlangsamung (wo wir sind)


    In diesem Stadium verlangsamt sich das exponentielle Wachstum und hört (hoffentlich) irgendwann ganz auf: die Neuinfektionen beginnen zu sinken oder bleiben wenigstens gleich, die Gesamtinfektionen, die aktiven Fälle und die Todesfälle steigen natürlich weiter, aber langsamer als im ersten Stadium. Was machen wir jetzt mit der Verdopplungszeit? Wir müssen unterscheiden nach:


    a) Neuinfektionen


    Die Neuinfektionen sinken oder bleiben gleich. Wir nehmen mal an, sie sinken, wie in China oder Südkorea und hoffentlich bald bei uns. Deren Wachstumsfaktor ist dann gar kein Wachstumsfaktor mehr, weil sie nicht mehr wachsen. Wenn wir ihn aber trotzdem trotzig ausrechnen, erhalten wir einen Wert kleiner als 1 und machen damit weiter wie oben.


    Wieder ein Beispiel: Wachstumsfaktor a = 0,84 (ungefähr wie's in Südkorea war)

    Verdopplungszeit = ln 2 / ln 0,85 = 0,693 / -0,174 = -3,983 (??)

    Was soll der Blödsinn? Ganz einfach: Wir denken uns das Minus weg und haben damit eine Halbierungszeit ausgerechnet. Aber eben nur für die Neuinfektionen!


    b) Gesamtinfektionen, aktive Fälle und Todesfälle


    Für diese Größen macht es in diesem Stadium keinen Sinn, Verdopplungszeiten auszurechnen. Natürlich könnten wir es tun. Mit verschiedensten Ansätzen, z.B. mit dem von oben. Diese Werte wären aber ziemlich nichtssagend, würden sich täglich ändern, und sogar die Änderung würde sich täglich ändern. Sowas braucht kein Mensch!


    In diesem Stadium ist es viel zielführender, sich nur anzusehen, ob die Neuinfektionen auch tatsächlich sinken. Oder: Man sieht sich einfach die Infektionsraten von nixda an (siehe sein Beitrag #174). Da hat man eine schöne griffige Zahl: 0,1. Man muss nur schauen, ob sich die Infektionsrate langsam von oben kommend dem Wert 0,1 nähert. Fertig!


    Stadium III - Stabilisierung (wo wir hin wollen)


    In diesem Stadium pendeln sich die Neuinfektionen auf einem gleichbleibenden und idealerweise relativ niedrigem Niveau ein (z.B. in Südkorea). Das kann auch Null sein (z.B. in China). Falls sie wirklich auf Null sinken und da auch bleiben ist das nachfolgend Geschriebene aber nicht mehr wichtig und auch nicht mehr richtig. Dann ist die Pandemie einfach vorbei (so lange sie nicht von Neuem beginnt).


    Wir betrachten also nur den Südkorea-Fall. Die Gesamtinfektionen steigen dann linear weiter, d.h. jeden Tag um einen konstanten Betrag, nämlich gerade die immer gleich große Zahl an Neuinfektionen. Die aktiven Fälle sinken zunächst noch, bis sie sich auch auf einem relativ gleichbleibenden Niveau stabilisieren, weil dann im Zeitablauf immer (ungefähr) genau so viele Menschen gesunden/versterben wie neu erkranken. Die Todesfälle wiederum steigen analog zu den Gesamtinfektionen natürlich ebenfalls (ungefähr) linear weiter.

    Auch hier müssen wir beim Thema Verdopplungszeit unterscheiden:


    Nachdem sich das Ganze einigermaßen "eingeschwungen" hat, der Übergang von Stadium II in Stadium III also mit Gewissheit vollzogen ist, gilt dann Folgendes:


    a) Neuinfektionen (aktive Fälle analog)

    Die Neuinfektionen bleiben also konstant. Wir rechnen wieder unseren Wachstumsfaktor aus und erhalten, nicht überraschend, genau den Wert a = 1,0. Jetzt machen wir es wie oben und rechnen:

    Verdopplungszeit = ln 2 / ln 1,0 = 0,693 / 0 = :huh:

    Wir dividieren durch Null! Dieser Weg führt den Mathematiker direkt in die (mathematische) Hölle. Das geht also nicht und es ergäbe auch gar keinen Sinn hier eine Verdopplungszeit auszurechnen, weil sich nichts verdoppelt. Die Neuinfektionen bleiben ja gerade gleich!


    [Achtung: Etwas Mathe!]

    Unsere Exponentialfunktion hätte hier folgende Form (mit b = ln a = ln 1,0 = 0)

    N(t) = N(0)*exp(b*t) = N(0)*exp(0*t) = N(0)*1 = N(0)

    Sie ist gar keine Exponentialfunktion mehr! Nein, sie ist zu einer konstanten Funktion entartet, nämlich einer Geraden mit der Gleichung N(t) = N(0).

    [Und schon wieder vorbei!]


    b) Gesamtinfektionen (Todesfälle analog)


    Die Gesamtinfektionen steigen linear weiter, hatten wir bemerkt. Wir erhalten, wenn wir das grafisch darstellen, eine Gerade. Man sieht dies schön bei den "total cases" in Südkorea. Wenn wir hier unseren Wachstumsfaktor a ausrechnen, erhalten wir einen Wert der täglich kleiner wird. Wir erhalten damit auch jeden Tag einen anderen Wert für die Verdopplungszeit, nämlich einen der täglich größer wird.


    Warum ändert sich das ständig? Weil wir einen konstanten Wachstumsfaktor a (a ungleich 1!!) nur angeben können für exponentielles Wachstum (Stadium I, a > 1, für Neu-und Gesamtinfektionen) und für exponentielle Verlangsamung (Stadium II, a < 1, aber nur für Neuinfektionen, nicht mehr für Gesamtinfektionen). Hier aber haben wir weder das Eine, noch das Andere. Wir haben in den Neuinfektionen Nullwachstum (Stadium III, a = 1, siehe a)) und damit in den Gesamtinfektionen lineares Wachstum. Das sind zwei Geraden. Die eine parallel zur Zeitachse (Neuinfektionen), die andere mit leichter (aber konstanter!) Steigung (Gesamtinfektionen).


    Hier gibt es keine Exponentialfunktionen mehr und deshalb dürfen wir auch nicht mehr mit ihnen rechnen. Wir können jedoch trotzdem eine Verdopplungszeit ausrechnen, nur anders. Die ändert sich ständig und nimmt in unserem Fall täglich um den Wert 1 zu. Wie man das ausrechnet, habe ich im angehängten Dokument gezeigt (oder zumindest die Idee geliefert).

    (Hinweis: Die Stadien aus diesem Beitrag nicht mit den Szenarien im pdf verwechseln (wenn sich das jemand ansieht). Ich hatte das zwar schon mal gepostet, aber eigentlich nur für mich selber und aus einem anderen Grund gemacht.)


    [Achtung: Wieder Mathe!]

    Wenn man diesen Zustand (für die Gesamtinfektionen) trotzdem mit einer Exponentialfunktion mit (jetzt) kontinuierlich veränderlicher Basis b = ln a zu fassen bekommen will, so ist das erst mal legitim. Wenn man dann aber die Zeitintervalle immer kleiner und kleiner macht, so wird man sehen, dass diese Exponentialfunktion im Grenzfall (delta_t -> 0) zu einer Geraden entartet. Das habe ich ein paar Beiträge weiter oben gezeigt.

    [Ich hör' schon wieder auf!]


    Wie es aussieht, rechnen aber alle (Zeitungen, Fernsehanstalten, Politiker, ...) ihre Verdopplungszeiten aus, wie sie gerade lustig sind. Ob mathematisch sinnvoll oder nicht, wen interessiert das schon?


    Deshalb:


    Viel einfacher als irgendwelche Verdopplungszeiten auszurechnen und dann zu schauen, um welchen Wert die steigen, ist es:

    a) Zu schauen, ob die Neuinfektionen gleich bleiben oder

    b) Zu schauen, ob die Infektionsrate bei 0,1 verharrt.

    Das läuft mathematisch ohnehin auf exakt dasselbe hinaus, die Infektionsrate ist aber wahrscheinlich am griffigsten. Wenn dies der Fall ist, dann wird die Sache für unser Gesundheitssystem definitiv beherrschbar bleiben.


    Ich habe nixdas Ansatz mit der Infektionsrate auch gleich mal mit meinen Zahlen (Ich nehm' die von worldometer) ausprobiert. Da kommt natürlich (fast) das Gleiche raus. Ich habe dann die Infektionsraten noch etwas geglättet, um diese blöden Schwankungen durch "Wochensaisonalitäten" u.dgl. raus zu filtern. Außerdem habe ich noch unseren (auch leicht geglätteten) Wachstumsfaktor a mit rein gemalt:


    ir-wf-04-04-.png


    Man sieht sehr schön, wie sich die Infektionsrate langsam dem Wert 0,1 annähert und wie der Wachstumsfaktor sich sukzessive auf 1,0 reduziert. Das sollte doch zur "Verlaufskontrolle" ziemlich praktisch sein, oder?!


    PS: Ich konnte eure vielen Beiträge von heute bisher noch nicht lesen, da ich den ganzen Sonntag damit verbracht habe, diesen Beitrag zu schreiben. Das geht jetzt aber gleich los!