Oh oh, da hast du - ohne es zu wissen - in ein Wespennest gestochen, denn mit solchen Dingen habe ich mich vor längerer Zeit intensiver beschäftigt. Aber keine Sorge, ich will das hier jetzt nicht vertiefen (denn ich bin ganz schön raus aus der Materie und will keinen Unsinn erzählen). Einen kurzen Ausflug können wir aber schon machen.
Im erwähnten Thread habt ihr u.a. einen Random Walk mit unabhängigen und gleichverteilten Zuwächsen konstruiert:
Mit unabhängigen und normalverteilten Zuwächsen (und noch zwei weiteren Eigenschaften) erhält man einen Standard-Wiener-Prozess, oft auch brownsche Bewegung genannt:
Mit weiteren Zutaten wie einem konstanten deterministischen Trend (Drift), einer zeitunabhängigen Volatilität und der Exponentialfunktion wird daraus eine geometrische brownsche Bewegung:
Die geometrische brownsche Bewegung bildet auch die Grundlage des Black-Scholes-Modells zur Bewertung von Optionen.
Und dann geht's weiter. Man kann
- aus dem deterministischen Drift einen zufälligen machen mit wiederum eigenen Trend- und Volalatilitäts-Komponenten (Schweinezyklus, Margenexpansion und -kontraktion),
- einen Rückzugsparameter für den Drift-Prozess einführen (Stärke des Mean-Reversion-Effekts),
- aus der konstanten (zeitunabhängigen) Volatilität eine zeitlich veränderliche Volatilitätsfunktion machen (siehe VDAX-Entwicklung in der letzten Zeit),
- Sprung-Komponenten einbauen (Kurse machen sowas ja gelegentlich),
- Störungen berücksichtigen,
- und, und, und.
Dann kommt man z.B. auf Sachen wie Wurzel-Diffusionsprozesse,
Jump-Diffusionsprozesse,
uni- oder auch multivariate Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse
usw.
Vieles davon wird heutzutage in der stochastischen Finanzmathematik auch tatsächlich eingesetzt (Aktien, Zinsen, Derivate), mal mit mehr Erfolg und mal mit weniger...